Математические основы информатики

Вещественные числа в компьютере хранятся в формате с плавающей запятой, который опирается на нормализованную форму записи чисел.

Нормализованная запись числа

Если при представлении целых чисел в компьютере ограничением может служить лишь величина записываемого числа, то при записи вещественного числа речь в первую очередь идет о точности его представления, т. е. о количестве значащих цифр, которые удается сохранить в ограниченном числе разрядов.

Пример 6. Допустим, мы имеем калькулятор, в котором на экране дисплея для вывода чисел есть только 10 знакомест (включая знак числа и запятую между целой и дробной частями десятичного числа). Если нам необходимо работать с числами

-6392000000;    -639,2;    -0,0000006392,

то на дисплее нашего калькулятора отобразить удастся лишь второе из них (первое число занимает 11 знакомест, второе — 6 знакомест, третье — 13 знакомест).      

Эта задача может быть решена» если числа представить несколько иначе. Забегая вперед, скажем, что для примера 6 искомый способ записи чисел в калькуляторе таков :

-6.392Е+9   -6.392Е+02   -6.392Е - 07,

где знак «Е» читается как «умножить на десять в степени». Такая запись отражает экспоненциальную форму записи чисел.

Определение 3. Любое число а в экспоненциальной форме представляется в виде  , где Р — основание системы счисления, т называется мантиссой числа, q — порядком числа.

Пример 7. Длину отрезка, равного 47,8 см, в экспоненциальной форме записи можно представить так:

1) 478 х 10^-1 см = 478 мм;

2)  4,78 х 10¹ см = 4,78 дм;

3)  47,8 х 10⁰ см = 47,8 см;

4) 0,478 х 10² см = 0,478 м.                                        

Из этого примера видно, что длину одного и того же отрезка можно записать с использованием различных экспоненциальных форм. Эта неоднозначность записи может приводить в определенных случаях к неудобству. Из курса алгебры известно, что если Р фиксировано и 1/Р ≤ m < 1, то представление числа в экспоненциальной форме единственно. Такая форма экспоненциального представления называется нормализованной формой и используется в компьютере для однозначности представления вещественных чисел.

Определение 4. Нормализованная запись отличного от нуля вещественного числа — это запись вида , где q — целое число (положительное, отрицательное, или ноль), a m — правильная Р-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, т. е. 1/Р ≤ m < 1.

Заметим, что число ноль не может быть записано в нормализованной форме так, как она была определена. Поэтому относительно нормализованной записи нуля приходится прибегать к особым соглашениям. Условимся, что запись нуля является нормализованной, если и мантисса, и порядок равны нулю.

В нормализованной форме все числа записываются одинаково в том смысле, что запятая у них ставится в одном и том же месте — перед первой (самой левой) значащей цифрой мантиссы. Заметим, что в двоичной системе счисления первая цифра мантиссы нормализованного числа всегда равна 1 (за исключением числа ноль). Величина же числа (т. е. ее порядок) указывается отдельно, с помощью соответствующей степени основания системы счисления, в которой это число было записано изначально. Количество цифр в мантиссе может оказаться меньше, чем число значащих цифр в исходном числе. Часто в нормализованной записи мантисса Р-ичного числа записывается в Р-ичной системе счисления, а порядок и само число Р — в десятичной.

Пример 8. Приведем примеры нормализации чисел:

1) 0 = 0,0 х 10 ⁰  (возможная нормализация нуля);

2)  3,1415926 = 0,31415926 х 10¹ (количество значащих цифр не изменилось);

3)  1000 = 0,1 х 10 ⁴   (количество значащих цифр уменьшилось с четырех до одной);

4) 0,123456789 = 0,123456789 х 10 ⁰ (запятую передвигать не нужно);

5)  0,0000107₈ = 0,107₈ х 8 ^-4 (количество значащих цифр уменьшилось с семи до трех);

6)  1000,0001₂ = 0,10000001₂ х 2 ⁴ (количество значащих цифр уменьшить невозможно);

7) AB,CDEF₁₆ = 0,ABCDEF₁₆ x 16 ² (количество значащих цифр уменьшить невозможно). 

При записи нормализованного числа в компьютере или калькуляторе для записи мантиссы и порядка отводится заранее фиксированное количество разрядов.

!     В компьютерном представлении вещественных чисел максимально допустимое количество цифр в мантиссе определяет точность, с которой может быть представлено число.

Поясним это на примере школьного калькулятора, который производит вычисления в десятичной системе счисления. Пусть это будет калькулятор с десятью знакоместами на дисплее, мантисса в нем имеет четыре цифры, порядок — две. В отличие от стандартной нормализации, у калькуляторов первая значащая цифра, с которой и начинается мантисса, изображается перед точкой. Порядок при этом соответственно уменьшается на единицу. Такая форма записи нормализованных чисел позволяет экономить одно знакоместо, так как вместо нуля в целой части мы помещаем значащую цифру.

Пример 9

1) Число 248,53786 в калькуляторе превращается в +2.485Е+02. Переводя последнее число в привычное представление с фиксированной запятой, получим +248,5.

2)  Число -2485378600,0 в калькуляторе превращается в -2.485Е+09. Переводя последнее число в привычное представление с фиксированной запятой, получим -2485000000.

3) Число 0,00024853786 в калькуляторе имеет вид +2.485Е-04, т. е. равно числу 0,0002485.

Следовательно, всякое десятичное число, состоящее не более чем из четырех значащих цифр в нормализованном виде, можно представить в таком калькуляторе точно, а остальные числа — лишь приближенно.

В первом пункте примера 9 погрешность калькуляторного представления исходного числа составила 248,53786 - 248,5 = 0,03786. Во втором пункте погрешность равна 2485378600 - 2485000000 = 378600, а в третьем — 0,00024853786 - 0,0002485 = 0,00000003786. Если бы мантисса калькулятора имела больше цифр, погрешность была бы меньше.

Определение 5. Модуль разности между значением числа х и неким его представлением х* (компьютерным, калькуляторным) называется абсолютной погрешностью представления х.

Несмотря на то, что в абсолютном исчислении погрешность может быть значительно больше 1, относительно величины самого числа ее порядок остается неизменным. Относительная погрешность представления чисел в примере 9 равна:

0,03786/248,53786 = 0,00015233... 

378600/2485378600 = 0,00015233... 

0,00000003786/0,00024853786 = 0,00015233...

Определение 6. Относительной погрешностью представления х называют величину 

Вопрос. Как вы думаете, что нам дает знание величин абсолютной и относительной погрешности при решении реальных задач на компьютере?

Ответ. Абсолютная погрешность говорит о том, на сколько полученный результат (например, результат представления числа в компьютере) отличается от истинного результата (в нашем примере — от самого числа).

При решении реальных задач знание этой величины позволяет оценивать, насколько достоверный результат был получен. Если его точность нас не удовлетворяет, то следует выбрать другой (более точный) способ представления чисел.

Относительная же погрешность показывает, сколько верных старших значащих цифр содержит результат. В примере 9 относительная погрешность представления разных по величине чисел равна 0,00015233... Такая относительная погрешность означает, что мы имеем три безусловно верные значащие цифры результата. Значение относительной погрешности непосредственно связано с количеством разрядов, отводимых для представления мантиссы нормализованного числа.

На практике обычно известна относительная погрешность представления чисел, так как разрядность мантиссы фиксирована. Следовательно, можно предположить, сколько верных цифр содержит результат. Если из каких-то априорных соображений известно значение вычисляемой величины, то можно оценить абсолютную погрешность результата.

В компьютерной записи вещественных чисел с плавающей запятой количество цифр, отводимых под запись порядка, определяет, насколько большие и насколько маленькие положительные числа могут быть представлены.

Покажем это опять на примере школьного калькулятора. В формате нашего калькулятора порядок имеет две цифры, и наибольшее число, которое может быть в нем представлено, — это +9.999Е+99. Если бы нам пришлось записать это число в формате с фиксированной запятой, оно имело бы ровно 100 цифр до запятой (четыре девятки и 96 нулей), т. е. это и в самом деле очень большое число.

А самое маленькое положительное число, которое можно ввести в нашем калькуляторе, — это +1.000Е-99. В формате с фиксированной запятой оно имеет 99 десятичных знаков после запятой, а именно 98 нулей и единицу. Это очень маленькое число. Таким образом, выражая порядок лишь двумя десятичными цифрами, можно записывать числа из очень широкого диапазона.

Широкий диапазон представления чисел с плавающей запятой необходим при решении научных и инженерных задач. Такое представление чисел не только позволяет сохранять в разрядной сетке большое количество значащих цифр и тем самым повышать точность вычислений, но также упрощает действия над порядками и мантиссами.

Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой

Как и для целых чисел, при представлении вещественных чисел в компьютере используется чаще всего двоичная система счисления, следовательно, предварительно десятичное число должно быть переведено в двоичную систему, а уж затем представлено в нормализованной форме с Р - 2.

При представлении нормализованных чисел часть разрядов ячейки отводится для записи порядка числа, остальные разряды — для записи мантиссы. По одному разряду в каждой группе отводится для изображения знака порядка и знака мантиссы. О таком представлении говорят, что число записано в формате с плавающей запятой.

Например, можно представить себе такое распределение разрядов ячейки памяти:

Первые два разряда служат для представления знаков порядка (s_q) и мантиссы (s_m) соответственно. Следующие к разрядов используются для представления абсолютной величины порядка числа (q), остальные n разрядов — для представления абсолютной величины мантиссы. В каждом разряде ячейки может храниться одно из двух значений: 0 или 1.

Тогда изображенному на схеме состоянию ячейки соответствует число

При такой системе записи наибольшее по абсолютной величине число, которое может быть представлено в машине, равно  * (1 - 2  ^-n  ), а наименьшее по абсолютной величине число, отличное от нуля, равно

Вещественных чисел, точно представимых в компьютере, конечное число. Остальные числа либо приближаются представимыми, либо оказываются непредставимыми. Последнее относится к слишком большим и к слишком маленьким вещественным числам.

Выполнение арифметических операций над вещественными числами

Использование в компьютере представления чисел в формате с плавающей запятой усложняет выполнение арифметических операций. При сложении и вычитании чисел сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков. Она состоит в том, что мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своей ячейке вправо на количество разрядов, равное разности порядков данных чисел. После этой операции одноименные разряды мантисс оказываются расположенными в одноименных разрядах обеих ячеек, и теперь уже сложение или вычитание мантисс выполняется достаточно просто, так же как над числами с фиксированной запятой.

Пусть — два нормализованных двоичных числа, и . Результатом их сложения или вычитания будет являться следующее выражение: 

После операций над порядками и мантиссами мы получаем порядок и мантиссу результата, но последняя, вообще говоря, может не удовлетворять ограничениям, накладываемым на мантиссы нормализованных чисел. Так как от результата арифметических операций в компьютере требуется, чтобы он также был нормализованным числом, необходимо дополнительное преобразование результата — нормализация. В зависимости от величины получившейся мантиссы результата, она сдвигается вправо или влево так, чтобы ее первая значащая цифра попала в первый разряд после запятой. Одновременно порядок результата увеличивается или уменьшается на число, равное величине сдвига.

Заметим, что над мантиссами в арифметическом устройстве могут выполняться все четыре арифметических действия, а также операции сдвига, тогда как над порядками производятся только действия сложения и вычитания. Отрицательные порядки можно записывать в дополнительном коде для того, чтобы операцию вычитания свести к операции сложения.

В ряде случаев, даже если некоторые два числа были представлены в формате с плавающей запятой абсолютно точно, результат выполнения над ними арифметических операций часто может содержать погрешность, а иногда может быть заведомо неверным.

Поясним более подробно особенности выполнения арифметических операций над вещественными числами на примерах. При этом будем считать, что в записи вещественного числа с плавающей запятой один разряд отводится под десятичный порядок и пять разрядов — под десятичную мантиссу.

Пример 10. Предположим, что требуется сложить следующие числа: 0,23619 х 10² и 0,71824 х 10^-1. Так как порядки у чисел различны, то перед сложением производится выравнивание порядков. Число с меньшим порядком преобразуется в число с порядком, равным порядку другого слагаемого (меньший порядок «приводится» к большему). В данном случае второе слагаемое будет преобразовано к виду 0,00071824 х 10², после чего выполняется сложение.

Результат получили с большим числом разрядов, чем вмещает ячейка, поэтому он округляется и записывается в памяти в виде 0,23691 х 10 ².  

Пример 11. Выполним сложение двух вещественных чисел:

0,23619 х 10⁸ и 0,91824 х 10⁸. Так как порядки у этих чисел одинаковы, то производить операцию  выравнивания  порядков  не требуется. Операция сложения сводится к сложению мантисс.

Результат — ненормализованное число 1,15443 х 10 ⁸. Требуется выполнить нормализацию путем сдвига мантиссы вправо на один разряд, а затем округление результата, так как в мантиссе будет уже шесть цифр, а в ячейке памяти под мантиссу отведено их только пять. Ответ: 0,11544 х 10⁹.

Пример 12. Выполним сложение двух вещественных чисел, одно из которых достаточно большое по сравнению со вторым: 0,23619 х 10³ и 0,91824 х 10 ^-3. Так как порядки у этих чисел различны, то требуется произвести предварительную операцию их выравнивания. После выполнения выравнивания порядков складываться будут следующие числа:

После сложения в мантиссе оказалось более пяти значащих цифр и при записи в ячейку памяти произойдет округление результата до 0,23619 х 10 ³ . Получившееся число равно первому слагаемому, т. е. при выравнивании порядков все значащие цифры мантиссы второго слагаемого потеряны. Таким образом, мы получили результат, невозможный с точки зрения обычной математики: а + b = а при b > 0. Но в компьютерной арифметике с ограниченным числом разрядов такой результат возможен, и об этом необходимо помнить при составлении алгоритмов решения задач. 

В вещественной компьютерной арифметике с ограниченным числом разрядов 1 + ε = 1 при 0 < ε < 2^-n, где n — количество разрядов, отводимых для представления мантиссы вещественного числа.

При умножении двух целых чисел с плавающей запятой их порядки необходимо просто сложить, а мантиссы — перемножить (предварительное выравнивание не производится). При делении из порядка делимого надо вычесть порядок делителя, а мантиссу делимого разделить на мантиссу делителя.

Результатами выполнения операций умножения и деления нормализованных чисел а и b в арифметике с ограниченным числом разрядов будут:

Пример 13. Выполним умножение двух вещественных чисел: 

0,23000 х 10³ и 0,95000 х 10⁷.

При умножении двух вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки складываются, а мантиссы перемножаются. В результате получим: 0,21850 х 10 ¹⁰. Это число не умещается в отведенный формат — в нашем формате под порядок отводится один разряд, а в получившемся числе порядок содержит две цифры. Выполнение операции умножения над этими числами приведет к прекращению выполнения программы в связи с ошибкой «переполнение порядка».

Пример 14. Выполним деление двух вещественных чисел: 0,92000 х 10⁴ и 0,30000 х 10⁷. При делении вещественных чисел в представлении с плавающей запятой порядки вычитаются, а мантиссы делятся одна на другую. В нашем примере при делении мантисс мы имеем бесконечную периодическую дробь 0,92:0,3 = 3,0(6). Следовательно, при записи мантиссы результата произойдет ее округление. После нормализации результат будет иметь вид: 0,30667 х 10 ^-2.